更新时间：2023-02-10 09:44
刘维尔（Liouville）定理是复变函数中的基本定理之一，其内容可简单描述为“一个有界的整函数
如果整函数 在整个平面上有界，即对所有 满足不等式 ，则 必为常数。
可简单描述为：一个有界的整函数必是常函数。
注：(1) 定理内容在实数范围内不成立；
(2) 定理的逆命题成立，即常数是有界常函数。
设 是平面上任一点，对以 为中心，任意正数 为半径的圆周，利用柯西不等式，得：
而且，由于 可以任意大，所以，必有 ，即 ，由于点 是任意的，故 必为常函数。
一、逆否命题：非常数的整函数必无界。
二、若 为有界整函数，则：
(1) 的逆也为有界整函数
(2) ，
(3) 为常数
三、几何意义
非常数整函数的值既不能全含于某一圆内，也不能全含于某一圆外。
刘维尔定理作为复变函数的基本定理之一，有着广泛的应用，可以直接或间接的证明推导出很多其他的定理：如代数学基本定理，复平面C上的最大模原理等等，是一种有效的证明手段。
例：设整函数且存在实数，使得，则为常数。
证明：∵为整函数
∴ 也为整函数
取：，则也为整函数
又∵
由刘维尔定理可知 为常数
∴也为常数，得证